Calcolo del ciclo lunare

Il numero d'oro

Il movimento di rotazione della Luna (su se stessa) avviene in un periodo di tempo uguale a quello della sua rivoluzione (movimento intorno alla Terra), e precisamente in 27 giorni, 7 ore e 43 minuti primi. Tale periodo di tempo è detto rivoluzione siderea o mese sidereo, in quanto coincide con l'intervallo che passa fra due congiunzioni successive della Luna con una stella. Tuttavia, siccome anche la Terra si sposta lungo la sua orbita intorno al Sole, mentre la Luna compie il suo moto intorno al nostro pianeta, ne consegue che la Luna non ritorna in congiunzione con il Sole dopo un mese sidereo, ma circa due giorni più tardi. Il valore medio dell'intervallo di tempo che passa fra due congiunzioni successive della Luna con il Sole è di 29 giorni, 12 ore, 44 minuti primi e 3 secondi, e prende il nome di rivoluzione sinodica o mese lunare o lunazione. Nel V secolo a.C. l'astronomo ateniese Metone scoprì che 235 lunazioni (mesi lunari) fanno quasi esattamente 19 anni solari. Per tale ragione, dopo un ciclo di 19 anni (detto ciclo di Metone o ciclo metonico o ciclo lunare) le fasi della Luna tornano ai medesimi giorni dell'anno. In altre parole, dopo aver osservato i giorni in cui hanno avuto luogo le diverse fasi lunari per 19 anni, si noterà che il ventesimo anno queste cadranno negli stessi giorni del primo anno, il ventunesimo anno cadranno negli stessi giorni del secondo anno, e così via. Ecco perché la serie dei tempi, partendo dall'anno 1 a.C., è stata divisa in periodi di 19 anni, e a ciascun anno di ogni periodo è stato abbinato un numero naturale dall'1 al 19. Il numero d'oro è quindi il numero dell'anno nel ciclo lunare in corso.
Per trovare allora il numero d'oro relativo a qualsiasi anno, basta sommare 1 all'anno, e dividere poi per 19. Il resto di questa divisione dà il numero d'oro; se però il resto è uguale a 0, il numero d'oro è 19. Meglio ancora si può ottenere dividendo l'anno per 19 e aumentando di una unità il resto così ottenuto. Per l'anno 1990, ad esempio, il calcolo è: (1990 + 1) : 19 = 1991 : 19 = 104 col resto di 15; oppure 1990 : 19 = 104 col resto di 14; 14 + 1 = 15; per cui il numero d'oro per il 1990 è 15.

L'epatta.

Si è già precisato che l'età della luna è uguale al numero di giorni trascorsi dall'ultimo novilunio. L'epatta relativa a un determinato anno è l'età della luna al 31 dicembre dell'anno precedente. Così, ad esempio, l'epatta per il 1990 è 3, poiché al 31/12/1989 l'età della luna era di tre giorni, ossia l'ultimo novilunio risaliva al 28/12/1989, cioè a tre giorni prima.
La seguente regola serve a calcolare l'epatta di un anno gregoriano qualunque: si moltiplica il numero d'oro per 11, dal prodotto si sottrae 10, il risultato si divide per 30, e si ottiene un resto, che indichiamo con a. Si sottrae 15 dal numero secolare dell'anno proposto (ovvero il numero formato escludendo le ultime due cifre dell'anno) e si ha un numero b. Si divide b per 25, si toglie il quoziente dal dividendo, si divide questa differenza per 3, e si ottiene un quoziente c. Si moltiplica b per 3, si divide il prodotto per 4, e si ottiene un quoziente d. Si sottrae c da d, e si divide il risultato per 30; il resto di questa divisione sia chiamato e. Se infine si sottrae e da a, si ha l'epatta. Nel caso che e sia maggiore di a, si sottrae a da e, poi si sottrae il risultato da 30, ottenendo così l'epatta. Di tutti i quozienti si considera solo la parte intera, trascurando le cifre decimali.
Lo schema delle operazioni da eseguire è il seguente:
[(n. d'oro x 11) - 10] : 30
(r) = resto = a;

n. secolare anno - 15 = b;
[b - (b : 25)] : 3 = c;
(b x 3) : 4 = d;
(d - c) : 30
(r) = resto = e;

a - e = epatta;

oppure:

30 - (e - a) = epatta.

Ecco un esempio, relativo al calcolo dell'epatta per il 1990:

15 (= n. d'oro) x 11 = 165; 165 - 10 = 155; 155 : 30 = 5 con resto 5; a = 5;
19 (= n. secolare anno) - 15 = 4; b = 4;
4 : 25 = 0,16; 4 - 0 = 4; 4 : 3 = 1,3; c = 1;
4 x 3 = 12; 12 : 4 = 3; d = 3;
3 - 1 = 2; 2 : 30 = 0 con resto 2; e = 2;
5 - 2 = 3; epatta per il 1990 = 3.
Conoscendo però l'epatta di un anno qualsiasi, è molto facile sapere l'epatta degli anni ad esso più vicini. Essendo la durata di una lunazione di circa 29 giorni e mezzo, e calcolando i computisti sia antichi che moderni i mesi lunari alternativamente di 29 e di 30 giorni, l'epatta è sempre un numero che varia tra 0 e 29, poiché se l'epatta fosse uguale a 30, sarebbe come se fosse 0. Sappiamo inoltre che 12 lunazioni intere formano circa 354 giorni, con un residuo rispetto all'anno solare di 11 giorni circa se l'anno è comune e di 12 se è bisestile. Per questo motivo da un anno all'altro l'epatta aumenta di 11 unità, e quando diventa maggiore di 30 basta sottrarre questo numero. Così, se l'epatta del 1990 è 3, quelle degli anni successivi saranno rispettivamente 14, 25, 6, 17, ecc.
Ogni 19 anni, però, proprio in corrispondenza degli anni con numero d'oro uguale a 1, l'epatta aumenta di 12 unità rispetto all'anno precedente (con numero d'oro 19). Purtroppo non è finita così: poiché la durata del ciclo metonico non è esattamente di 19 anni, ma più breve di circa un'ora e mezza, per conseguenza le epatte crescono di un giorno ogni 300 anni circa, e di 8 giorni ogni 2500 anni circa.
Fino al 1582 questo "particolare" era stato trascurato: il ciclo metonico veniva considerato di 19 anni esatti e per sapere l'epatta (in maniera imprecisa), partendo dal numero d'oro, era sufficiente effettuare il seguente calcolo:

epatta = (r) [11 x (n-1)] : 30,
intendendo per (r) il resto della divisione per 30 e per n il numero d'oro. Il significato di questa epatta non era, però, l'età della luna al 31 dicembre dell'anno precedente, ma l'età della luna al 31 dicembre dell'anno precedente meno 8 (o, ciò che è lo stesso, l'età della luna al 22 marzo). In tal modo, ad ogni numero d'oro corrispondeva una determinata epatta, per cui i valori possibili dell'epatta potevano solo essere 19, e precisamente: 1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 30.
Nella riforma gregoriana del calendario si è provveduto ad attuare questa correzione, chiamandola equazione lunare.
Fu stabilito che alle epatte degli anni del periodo 550-800 si dovesse aggiungere una unità negli anni 800, 1100, 1400 e 1800, e che in seguito si ripetesse l'aggiunta di una unità ogni 300 anni per 7 volte, mentre l'ottava volta l'aggiunta di una unità sarebbe avvenuta dopo 400 anni. La seguente tabella dà così il numero di unità da aggiungersi alle epatte del periodo 550-799:

Sempre nella riforma gregoriana si calcolò che l'anno 551, considerato anno base per l'equazione lunare, dovesse avere numero d'oro 1 ed epatta 8.
Partendo da questo dato, è anche possibile calcolare l'epatta per il periodo successivo al 1582 utilizzando la formula seguente:

epatta = y + 8 + equazione lunare - giorni tolti dalla riforma gregoriana, dove
y = (r) [11 x (n-1)] : 30,
ossia l'epatta secondo il vecchio metodo di calcolo (intendendo come al solito per (r) il resto della divisione e per n il numero d'oro).

La formula:

epatta = y + 8

che non tiene conto dell'equazione lunare, è quella da utilizzare per calcolare la data di Pasqua fino al 1582 compreso. Si limita infatti ad aggiungere 8 al valore dell'epatta medievale, per farlo coincidere con l'età della luna alla fine dell'anno precedente. C'è da notare che 8 è l'età della luna calcolata da Dionigi il piccolo per l'inizio dell'anno 1 a.C., da lui scelto come anno base per i cicli diciannovennali del numero d'oro, ed è anche l'età della luna all'inizio dell'anno 551. Questa è l'epatta che viene ancor oggi utilizzata da quasi tutte le chiese ortodosse, sempre per fissare la data di Pasqua, in quanto queste chiese non hanno accettato la riforma gregoriana.

Per il periodo 1583-1699 abbiamo:
epatta = y + 8 + 3 - 10 = y + 1
Per il periodo 1700-1799 abbiamo:
epatta = y + 8 + 3 - 11 = y

Per il periodo 1800-1899 abbiamo:
epatta = y + 8 + 4 - 12 = y

Per gli anni dal 1900 al 2099 compresi la formula diventa:
epatta = y + 8 + 4 - 13 = y - 1

Per il periodo 2100-2199 dobbiamo scrivere:
epatta = y + 8 + 5 - 14 = y - 1,
scoprendo dunque che la formula rimane invariata per tutto l'arco di tempo 1900-2199.
Come esempio finale, sapendo che il numero d'oro per il 1990 è 15, si può trovare l'epatta svolgendo questa operazione:
epatta = (r) [11 x (15 - 1)] : 30 - 1 = (r) (154 : 30) - 1 = 4 - 1 = 3.
L'epatta è utilizzata, come si è già accennato, per il calcolo della data della Pasqua.

Il calendario perpetuo e la Lettera Domenicale

Un calendario perpetuo è, come dice il nome stesso, un calendario valido per sempre (o comunque per un periodo lunghissimo di tempo). Può assumere svariate forme: qui ne vengono presentate due. Per utilizzare il calendario perpetuo n. 1 (che copre l'arco di tempo compreso tra l'anno 0 e l'anno 2899, ma che evidentemente può essere ampliato e anche modificato nella forma) si procede come segue. Stabilita la data (per esempio, 31-5-1962), occorre trovare la lettera (chiamata lettera domenicale: per gli anni bisestili sono due) che è posta nel punto di incrocio fra la colonna del secolo che interessa (nel nostro esempio, 1900) e la riga in cui si trovano le ultime due cifre dell'anno che consideriamo (nel nostro esempio, 62). Per le date tra il 1500 e il 4-10-1582 si utilizza la seconda colonna, dove sta il 1500 del calendario giuliano, e per quelle dal 15-10-1582 al 1599 si utilizza la quinta colonna, dove sta il 1500 del calendario gregoriano. Ricordiamo che i giorni che vanno dal 5 ottobre al 14 ottobre 1582 non sono mai esistiti. Per quanto riguarda il nostro esempio, la lettera relativa è la G. Si cerca poi, nel settore dei mesi, in quale colonna la lettera appare sulla stessa linea orizzontale del mese considerato (maggio): nel nostro caso, nella sesta colonna. Infine, nella stessa colonna verticale (cioè la sesta), nel settore dei giorni, si individua il giorno della settimana che appare all'incrocio con la riga in cui sta il giorno del mese considerato (il 31): e abbiamo che il 31-5-1962 era giovedì. Si tenga presente che M (maiuscolo) sta per martedì e m (minuscolo) sta per mercoledì.
Per gli anni bisestili le lettere domenicali corrispondenti all'anno sono due, la prima da usarsi per i mesi di gennaio e febbraio e la seconda per gli altri mesi. Ricordiamo che sono bisestili gli anni divisibili per 4 e, fra gli anni secolari, solo quelli divisibili per 400 (sono dunque bisestili il 1600, il 2000, il 2400; non lo sono il 1700, il 1800, il 1900, il 2100, ecc.). Per questa ragione alcune delle prime lettere domenicali relative alla riga degli anni terminanti per 00 si utilizzano per i mesi di gennaio e febbraio solo per gli anni secolari del calendario giuliano (che sono bisestili a differenza di quelli del calendario gregoriano). Ad esempio, le lettere che si trovano all'incrocio fra la prima colonna e la prima riga, che sono DC, si utilizzano entrambe (la prima per i mesi di gennaio e febbraio, la seconda per gli altri mesi) per gli anni 700 e 1400, mentre per gli anni 1700, 2100, 2500 (che non sono bisestili) si tiene conto solo della lettera C per tutti i mesi.
Altri esempi:
29-8-284. Per sapere che giorno era si cerca la lettera domenicale posta all'incrocio fra la colonna dei secoli in cui c'è 200 e la riga degli anni in cui c'è 84. Le lettere sono due: FE. A noi però interessa la seconda, poiché la prima è solo per i mesi di gennaio e febbraio, essendo il 284 bisestile. Dunque, prendiamo in considerazione la lettera E. A questo punto cerchiamo sulla riga del mese di agosto la lettera E, e notiamo che si trova nella terza colonna. Se ora scendiamo lungo la terza colonna fino a incontrare la riga in cui si trova il 29, che è la data che ci interessa, scopriamo che il 29-8-284 era venerdì.
2-3-1582. Si deve utilizzare la seconda colonna dei secoli, poiché lì si trova il 1500 degli anni giuliani (essendo il 2-3-1582 precedente al 4-10-1582). La lettera domenicale posta all'incrocio con la riga relativa all'82 è la G. Leggendo sulla riga del mese di marzo troviamo la G sulla quarta colonna, e all'incrocio di quest'ultima con la riga in cui è posta la data del 2 si trova V: dunque il 2-3-1582 era venerdì.
17-1-1900. All'incrocio secoli-anni si legge AG: si trascura la A, poiché il 1900 non era bisestile. La G si trova, in corrispondenza del mese di gennaio, sulla settima colonna che, là dove incontra la riga in cui è posta la data del 17, ci informa che il 17-1-1900 era mercoledì.


Un calendario perpetuo in forma diversa è quello proposto di seguito (calendario perpetuo n. 2). Una volta che si è in qualche modo pervenuti alla conoscenza della lettera domenicale dell'anno che interessa, si cerca nella tabella la data di cui si vuol sapere il giorno della settimana, tenendo presente che tutte le date a fianco delle quali compare la lettera domenicale sono delle domeniche (da cui il nome di lettera domenicale), quelle successive saranno dei lunedì, ecc. Sapendo, ad esempio, che la lettera domenicale per il 1990 è la G, e volendo sapere che giorno era il 1-5-1990, basta notare, sul calendario perpetuo n. 2, che il 29 aprile era domenica (avendo di fianco la G); dunque il 30 aprile era lunedì e il 1. maggio 1990 era martedì. Quando le lettere domenicali sono due, poiché l'anno è bisestile, la prima vale per i mesi di gennaio e febbraio, mentre la seconda segnala le domeniche di tutti gli altri mesi.


L'Antico Lunario di Treppo Carnico

Il testo del manoscritto 1709/10, in ragione della concisione usata dall’ignoto autore, forse un sacerdote, si presenta abbastanza enigmatica tant’è che è rimasto a lungo esposto alla pubblica curiosità privo di adeguate spiegazioni. La parte superiore del manoscritto reca un’invocazione di carattere religioso separata in due parti da una figura circolare costituita da una serie di cerchi concentrici divisi in ventotto settori. Una grande tabella copre la parte inferiore del manoscritto e, sopra e sotto di essa, sono riportate alcune righe di dati.
Nella parte sinistra dell’invocazione l’autore ha riportato una tavola in cui è descritta la posizione dell’anno 1710 rispetto alcune ere di datazione dell'epoca (era della creazione del mondo, del diluvio universale, della natività di Abramo, eccetera).
Sotto la parte destra l’autore ha specificato l’intento del suo lavoro, cioè riportare i dati del ciclo solare (ciclo di 28 anni), le lettere domenicali, utili per il calcolo della Pasqua e altre festività religiose, indicazioni di carattere astrologico relative alla fertilità o meno dei vari anni elencati nel testo (dal 1710 al 1737) e infine l’indicazione dei giorni infausti per mettersi in viaggio e “dar inizio a ogni cosa”. L’ingenuità di tali indicazioni astrologiche non deve indurci a sminuire il valore del documento e la preparazione del suo autore. Infatti, la grande tavole di trentun caselle per dodici, posta nella parte inferiore, riporta, con un sistema di riferimento tanto sintetico quanto efficace, le date, le ore e i minuti dei noviluni degli anni dal 1710 al 1728, da un esame dei dati esposti, risulta evidente che si tratta di un calcolo eseguito con l’uso di tavole astronomiche.
Sotto tale tavola sono riportati i dati delle epatte degli anni in questione (le epatte sono dati necessari al calcolo della Pasqua) e sopra di essa i dati relativi all’Indizione Romana, un sistema di datazione ora abbandonato ma un tempo molto usato. Una piccola tabella posta sul lato destro della figura circolare riporta i dati relativi al calcolo della prima domenica dell’Avvento.
La figura circolare che domina la parte superiore del manoscritto contiene, oltre alcuni interessanti dati astrologici, le lettere domenicali ed il ciclo solare degli anni dal 1710 al 1737.

Il manoscritto originale si trova esposto nella sala da pranzo dell’Albergo Cristofoli di Treppo Carnico, una copia dell’originale è conservata presso il “Museo del Tempo” di Teheran (Iran), assieme ai più importanti calendari e lunari provenienti da ogni parte del mondo.

Calcolo della data della PASQUA

Il primo Concilio di Nicea (anno 325) stabilì che la solennità della Pasqua di Resurrezione sarebbe stata celebrata nella domenica seguente il primo plenilunio di primavera (quattordicesimo giorno della luna ecclesiastica). In quell'occasione o, più probabilmente, nei decenni successivi, la data ufficiale dell'equinozio fu spostata dal 25 marzo al 21 marzo, poiché, a causa delle imprecisioni del calendario giuliano, si erano accumulati a quell'epoca quasi quattro giorni di ritardo rispetto al tempo di Giulio Cesare. Va comunque detto che, per varie ragioni, la data astronomica esatta dell'equinozio varia da un anno all'altro e nel corso dei secoli.
Per questo la data di Pasqua è compresa tra il 22 marzo e il 25 aprile inclusi. Infatti, se proprio il 21 marzo è di luna piena, e questo giorno è sabato, sarà Pasqua il giorno dopo il 22 marzo; se invece è domenica, il giorno di Pasqua sarà la domenica successiva, 28 marzo. D'altro canto, se il plenilunio succede il 20 marzo, quello successivo si verificherà il 18 aprile, e se questo giorno fosse per caso una domenica occorrerebbe aspettare la domenica successiva, cioè il 25 aprile.
La questione sul metodo di calcolo della data di Pasqua fu molto dibattuta all'interno della Chiesa, soprattutto prima, ma anche dopo il Concilio di Nicea. Nel corso dei secoli V-VII si affermò grazie soprattutto all'opera di Dionigi il Piccolo il metodo di compilare delle tavole delle date di Pasqua, basato sul ciclo diciannovennale di Metone. In pratica, la data di Pasqua era il risultato di un algoritmo che combinava il ciclo di Metone, e quindi il numero d'oro, con il ciclo solare, ottenendo un ciclo di 19 x 28 = 532 anni.
Come abbiamo già visto, ad ogni numero d'oro corrispondeva una determinata epatta, per cui i valori possibili dell'epatta potevano solo essere 19, e precisamente:
1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 30.
La riforma gregoriana del 1582 rese più preciso il calcolo, introducendo una correzione del ciclo di Metone e utilizzando tutti e 30 i valori possibili dell'epatta. In seguito a ciò, il ciclo delle date di Pasqua (al termine del quale si ricomincia dalla prima data) non è più di 532 anni, ma bensì di 5.700.000 anni, dato dal prodotto dei quattro numeri seguenti:
19 (durata in anni del ciclo di Metone)
400 (durata in anni del ciclo solare nel calendario gregoriano, che tiene conto dei giorni non più bisestili per effetto della riforma)
25 (numero che corregge il ciclo diciannovennale di Metone)
30 (numero delle diverse epatte possibili) (cfr. Klaus Tondering).
Parecchie chiese ortodosse utilizzano il calendario giuliano, anziché il gregoriano, per il calcolo del giorno di Pasqua, che in tal modo viene celebrato in un giorno generalmente diverso rispetto a quello della Chiesa cattolica e delle chiese protestanti.